Вводный курс ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
     для старшей ступени профильного обучения
   



Простые проценты

Простые процентные ставки

Одним из главных инструментов в финансовых вычислениях является процент (от лат. pro centum – «на сотню»). Сегодня проценты можно встретить практически в каждой науке, например, в статистике, в химии, биологии и т. д. Но очень долгое время процент применялся только в торговых и денежных сделках для обозначения прибыли или убытка на каждые сто денежных единиц. И если в математике процент определяется как сотая часть числа, то в финансовых вычислениях под процентом мы будем подразумевать абсолютную величину дохода (прибыли) от предоставления денег в долг в любой его форме (выдача ссуды, продажа товара в кредит, помеще-ние денег на депозитный счет и т. д.).

Но для того чтобы найти, какой доход будет от предос-тавления денег в долг, нужно знать процентную ставку – отношение процентов за единицу времени к сумме долга. Причем единицей времени (временной интервал, после которого про-исходит начисление процентов) может быть год, полгода, квартал, месяц, день. В финансовых операциях очень часто процентная ставка устанавливается как годовая процентная ставка, т. е. начисление процентов происходит по истечении года после заключения договора. Обычно проценты при вычислениях записываются в виде десятичной дроби, например, 12 % соответствуют 0,12.

В финансовых операциях различают две схемы начисления процентов: по простой процентной ставке и сложной процентной ставке.

Рассмотрим метод начисления процентов по простой процентной ставке.

Простая процентная ставка наращения – ставка, при которой база начисления остается всегда постоянной.

Для наглядности решим следующую задачу.
Гражданин К., чтобы увеличить свой капитал, решил поло-жить 1000 рублей в банк.
Банк предлагает простую процент-ную ставку, равную 8 % годовых. Какую сумму получит клиент банка через три года?
Решение:
Так как процентная ставка простая, то начисление процентов происходит только на начальную сумму, т. е. на 1000 рублей.
Проценты за 1-й год составят (рублей). За 2-й и 3-й год проценты будут также по 80 рублей – согласно определению простой процентной ставки. Следовательно, за три года проценты составят 3*80=240 (рублей).
Гражданин К. через три года получит сумму, равную:
1000+240=1000+1000*0.08*3=1000(1+3*0.08)=1240 (рублей).

Переведем последнее выражение на математический язык, введя условные обозначения, которые в дальнейшем будем применять. Начальную сумму примем за Р, простую процентную ставку – iп %, конечную (наращенную) сумму – S, продолжи-тельность периода начисления в годах – n. Тогда наше число-вое выражение примет вид

P+P×in×n=P(1+nin)=S (*).

Полученная формула

S=P(1+nin)     (1). называется формулой наращения суммы по простым процентам.

Зная любые три параметра, из формулы (1) можно всегда с помощью математических преобразований найти четвертый параметр. Например, если известны срок финансовой операции, начальная и конечная сумма, то можно найти процентную ставку, которую в этом случае называют доходностью ссудной операции.

Обратим внимание на второе слагаемое в выражении (*), его обозначают через I, т. е. I=P*iп*n , и называют процентом или доходом от предоставления капитала в долг за весь срок операции.

Вернемся к нашей задаче и зададим следующий вопрос. Какую сумму клиент банка смог бы забрать в конце 1, 2, 3-го года?

Так как за каждый год процентный доход равен 80 рублям, то в конце первого года, второго, третьего клиент банка смог бы забрать соответственно 1080, 1160, 1240 рублей.

Можно заметить, что числовая последовательность, составленная из первоначальной суммы и наращенных сумм после пер-вого, второго, третьего года и т. д. (1000; 1080; 1160; 1240;…) образуют арифметическую прогрессию, первый член ко-торой равен первоначальной сумме а0 = Р, а разность арифмети-ческой прогрессии равна процентному доходу за год d = Piп.

Отсюда можно сделать вывод: наращение суммы по простой процентной ставке происходит по правилу арифметической прогрессии.

Нужно отметить, что размерности величин, определяющие процентный платеж (I), должны быть согласованы, т. е. если срок финансовой операции измеряется в годах, то процентная ставка должна быть годовой. Если срок измеряется в месяцах, то и ставка процента должна отражать рост за новую единицу времени, а именно за месяц. На практике делают следующим образом: если объявлена годовая процентная ставка, а срок финансовой операции меньше года, то определяют, какую часть года составляет данный срок, т. е.:

n=t:k, где t – количество дней, а K – временная база.
Тогда формула (1) принимает следующий вид:

S=P×(1+t/K×in)    (2).

В финансовых операциях различают две временные базы: K = 360 дней (приближенное число дней в году, считают, что в каждом месяце 30 дней) или K = 365 или 366 дней (точное число дней в году).

Если K = 360, то получают обыкновенные, или коммерче-ские проценты, а при использовании действительной продол-жительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.
На практике применяются три варианта расчета простых процентов.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот ва-риант дает самые точные результаты. Применяется цен-тральными банками многих стран и крупными
коммерческими ,банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как или («английская практика»).
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды – метод, иногда называемый банковским, распространен в ме-ждународных ссудных операциях коммерческих
банков. При-меняется во Франции, Бельгии, Швейцарии. Обозначается, как («французская практика»).
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Число дней в месяце считается равным 30. Такой метод применяется, когда не требуется большой
точности, например при промежуточных расчетах. Принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Обозначает-ся как («германская практика»).

При определении числа дней ссуды по календарю первый день не учитывается, а последний учитывается. Для удобства подсчета дней пользуются сквозной нумера-цией всех дней в году . Если год высокосный, то после 28 февраля к порядковым номерам дней в году нужно прибавлять единицу.


Простые учетные ставки

Если простые проценты, например, за кредит или любую другую инвестицию, выплачиваются в момент заключения договора сроком на один год, то есть предварительно, такой метод начисления процентов называют антисипативным (или предварительным). Антисипативная процентная ставка называется учетной ставкой и обозначается буквой d. На практике простые учетные ставки применяют, например, при учете (по-купке) векселей.

Вексель, согласно международному вексельному законодательству, является особым видом письменного обязательства, дающего право его владельцу требовать в установленный срок, называемый сроком погашения, выплатить определенную сумму, называемую суммой погашения. Обязательное условие для любого векселя состоит в том, что текст в нем должен быть составлен так, чтобы на его основании можно было точно определить дату и сумму погашения (номинальная стоимость векселя).

Вексель может оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с учетом векселей. Суть операции заключается в следующем. Банк до наступления срока погашения векселя приобретает его у владельца по цене, кото-рая меньше номинальной стоимости векселя.

В этом случае векселедержатель получает сумму, равную P = S – D. Такая операция называется дисконтированием по простой учетной ставке (банковским учетом). D – дисконт, который показывает величину удержанных процентов, начис-ленных за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму S, подлежащую уплате в конце срока.

Таким образом, дисконт равен . Тогда владелец векселя получит:

P=S-Sndn=S(1-ndn)     (3).

Формулу (3) используют, если срок погашения измеряется в годах.
Или
P=S(1-t/K×dn)      (4).
Формулу (4) используют, если срок погашения измеряется в днях. Полученные формулы часто называют банковским (коммерческим) дисконтированием. Обычно при расчетах пользуются французской практикой.
Зная любые три параметра, из формул (3), (4) можно всегда с помощью математических преобразований найти четвертый параметр.

Перейти на главную страницу

©: 2007-2017. Некомерческий учебный проект. Все права соблюдены. Связаться с разработчиком.